Почему сейчас так же как и сто лет назад Россия в три раза беднее США?

de4b80ad72.pdf-1
Логарифм подушевого ВВП США и РФ. Угадайте где какая страна?

Простой статистический факт. 100 лет назад по ВВП на душу населения мы отставали от США точно также как мы отстаём сегодня. За последние 100 лет среднегодовой рост в США и в России составлял 3%. Если мы периодами и догоняли кого-то, то только сами себя.

ВВП на душу населения характеризует капиталовооруженность, что, в свою очередь, характеризуем технологичность россиянина. То есть выходит, что мы также игнорируем применение современных технологий, как и 100 лет назад. И это не только о технологии производство танков или ракет, но и о культурные технологии такие как методы ведения бизнеса, методы организации государства, и различные сортировочные механизмы, такие как высшее образование, которые позволяют образовывать эффективные группы внутри общества.

Выходит, что мы просто тот же самый человек, который просто поменял одежду. В то время как развитые страны применяют все доступные технологии и находятся на пределе своих производственных возможностей, мы также, как и когда-то давным-давно обладаем какими-то особенностями, которые делают так что не технологии и знания к нам не проникают. А то, что проникает не присваивается и живет в каком-то изолированном маленьком пространстве.

Чтобы ответить на этот вопрос по существу нужно послушать не экономистов, антропологов. В целом обе области знаний говорят примерно одно и тоже, но смысловой акцент немножко другой.

Ответ лежит в плоскости понимание общественных институтов. Это писаные и неписаные правила по которым живет общество. Эти правила очень сложно переписать. Общепризнанно что страны способны переформатировать свои институты в результате очень сильных исторических потрясений, чаще случайных, чем спланированных. К примеру, благоприятные для роста благосостояния институты в Англии появились в результате чёрной смерти – масштабное эпидемии чумы 14 века. Дефицит крестьян увеличил их переговорную позицию, что в итоге привело к созданию правил по которым их было сложнее грабить. Аналогично, Латинская Америка считается бедной, потому что испанцы придя туда намеренно создали институты, которые позволяли порабощать населения. Таких примеров очень много. (Вот еще)

При отсутствии сильных исторических событий уклад жизни мигрирует из поколения в поколение, подобно тому как родившийся младенец не говорит и думает, как россиянин, но к четырём годам начинает думать и говорить, как он. Известно, что, начиная с периода полиомиелита особенностями homo sapiens является то что мы способны организовываться в большие группы. К примеру, неизвестно ни одного случая чтобы наши ближайшие генетические родственники образовывали группу более 80 обезьян. Чем больше группа, тем больше вероятность конкуренция за ресурсы и кровопролития.

Люди же смогли организовываться в большие группы, потому что научись верить в фикцию. К примеру, обезьяны способны сказать, что у реки находится лев, человек же способен сказать, что дух Льва живущую у реки является хранителем нашего племени. Способность передавать информацию о несуществующих вещах единственное что делает людей уникальными. Таким образом если священник наденет определённое платье и скажет определённые слова, то кусок хлеба превращается в плоть сына Господнего или же юрист который разложил бумаги и расставил подписи в определенном порядке создает организацию. (подробнее)

Условия для того, чтобы люди могли образовывать большую группу и эффективно координироваться в ней является вера в определенную фикцию. Для того чтобы рыночная экономика работала люди должны в неё верить. Мы не говорим, что Адам Смит выдумал рыночную систему, мы говорим, что он её обнаружил, а создана она была самой природой или Господом Богом.

Фикции не бывают плохими или хорошими, моральными или аморальными. Месопотамия делила людей на рабов и не рабов. Современная Америка делит людей на бедных и богатых. Фикции существует только для того, чтобы в них верить. И она работает и приносит пользу только если в неё верят все и каждый верит, что другой верит в неё.

Концептуально это не отличается от светофора. Зелёный и красный цвет сам по себе является просто светом, вера в него позволяет людям разъезжаться на перекрестках.

Когда американец идет в суд в качестве свидетеля он кладет руку на Библию. В Америке вся система законов включаю Конституцию исходит из того что Господь Бог наделил всех одинаковыми правами. Любая убедительная фикция строится на допущении что оно было дано свыше: Богами, самой природой или великими предками.

Во что же верит современная Россия? Во что она должна верить? Она может верить во всё что угодно. Любая страна может верить во всё что угодно, но верить надо дружно. Если мы не будем дружно верить во что-то, ты мы всегда будем отставать от ведущих стран в три с половиной раза и через что сто, и через двести лет.

В этом смысле, самое главное технология в обществе — это не технология производства каких-то благ или услуг. Первопричинная технология — это способность к изобретению и нахождению культурных решений для того, чтобы лучше организоваться и координироваться внутри общества. Технология переработки материалов в продукты и услуги — это лишь последствия нашей способности координироваться. Экономисты собирательно называют это качеством человеческого капитала.

Вот пару любопытных примеров. Надо понимать, что таких примеров множество. Возьмем, к примеру, проблему нахождения устойчивых пар в условиях информационной асимметрии. Представим женщину которой предстоит произвести невозвратную инвестицию в отношении с каким-то мужчиной, скажем, что она ищет себе отличного мужа. Во время одного свидания невозможно сказать насколько мужчина будет хорошим мужем. Но поскольку важны лишь относительные, а не абсолютные качества мужчины женщины сортируют мужчин по определенному критерию. Что же это за критерий?

Известно, что в период полиомиелита охота на больших зверей была выбрана мужчинами как способ показать женщине что он (1) обладает нужными качествами для того, чтобы преуспеть в данной культурной среде (быть охотником) и что он (2) ценит определенную женщину. Доход женщин был примерно постоянен, мужчина же охотой на больших животных временами имел в своем распоряжении очень крупный кусок мяса, который отдавал женщине, которая ему нравится. Добыть кусок мяса для мужчины было чрезвычайно сложно, и другого у него не будет таким образом кусок мяса содержал информацию насколько мужчина ценит женщина и насколько он хороший охотник. (вот подробнее об этом)

Более современный пример — это когда нам нужно выбрать умных студентов и отправить их в университеты, но мы не можем просто спросить у студентов кто из них умный, потому что каждый из них имеет стимул соврать чтобы поступить в лучший университет. Чтобы выявить кто из студентов более способный мы заставляем их сдавать экзамены, которые являются прокси для навыка студента или для его желания инвестировать в образование.

Самый вырожденный примеры, когда мы используем прокси для сортировки людей это когда мы стоим в очереди. Очередь — это настолько простая и обыденная вещь что мы даже не думаем о том, что в действительности это является одним из механизмов который позволяет нам лучше координироваться.

Другой излюбленный пример современности это рыночная система. Рыночная система позволяет существовать ценовому сигналу, который содержит в себе очень полезную информацию и позволяет координироваться большому количеству людей. Зачастую люди находясь в разных странах способны координироваться для того чтоб сделать, скажем, самолеты. Ценовой сигнал также информируют нас о том, что какой-то специалист является хорошем или же стимулирует нас покупать недвижимость в более дешевых районах.

Любопытно, что люди обладают гибкостью в плане смены культуры и они очень эффективно адаптируются, для того чтобы включаться “в игру”. Таким образом, если взять самого традиционного русского и отправить в Америку, (но только не в неё русскоговорящую часть) ты он поведенчески превратится в американца. Хорошо известно, что для продвижение общественных фикций используется ритуалы. Такие ритуалы как военные парады, памятники богам, или любым другим персонажем существует для того, чтобы человек мог удостовериться что другой человек, с которым он должен взаимодействовать содержит в своей голове ту же фикцию что и у него. Любопытный пример такого ритуала — это видео Навального где он пытается убедить одного потенциального протестующего в том, что другой протестующий тоже будет протестовать. (про ритуалы и их роли)

Последняя любопытная особенность фикций. Зачастую фикции делают так что одни члены общество живут гораздо лучше в чём её другие члены. То есть люди, которые выигрывают от этой фикции и имеют очень сильный стимул эту фикцию поддерживать. Сегодня хорошо понято, что именно нежелание людей, которые проигрывают от изменений менять что-то является первопричиной тому что мы имеем бедные страны. Латинская Америка, Индия, Африка и, конечно, же Россия бедны лишь потому, что их граждане верят в глупости, и они никак не могут поверить во что-то еще, потому что существуют люди с ресурсами и с интересом которые делают всё чтобы это не менялось. Любопытно, что они могут делать это искренне даже не считая себя плохими людьми. Им просто более понятный их личные проблемы чём проблема кого-то еще кого они не видели и не знают.

Мне как гражданину России непонятно зачем Путину нужно придумывать какие-то чудеса про 9 Мая и Великую победу, когда самая распространённая фикция во всех развитых странах это борьба с коррупцией и за равноправие. Это простая не противоречивая идея, которая сплочает нации со времен французской революции. С моей точки зрения, тот факт, что вместо того, чтобы объединить всех вокруг этой простой чёрно-белый идеи, он выбирает что-то другое самое убедительное доказательство тому что он такой же подлец и вор как и всё его окружение, которое волей случая добралось до “корыта”. Он и его окружение никогда самовольно не уйдут из власти, к сожалению, наша работа состоит в том, чтобы выгнать его. Это тяжёлый труд, но другого пути нет.

Решил добавить еще этот график к дополнению к тем двум. Квартальный ВВП систематические собирают с 1947. На этом графике логарифм годового американский ВВП на душу.
Advertisements

Случайный старый черновик

Хм… сел писать и увидел, что у меня уже сохранен черновик на схожую тему от 1 Мая 2017. Точно не знаю, что хотел сказать черновик достаточно рондомный, тем не менее но вот он.

Часть 1. Что-то, что я раньше думал эту тему

Подчасть 1.1

Почему на Руси так все плохо? Воруют, говорят, пьют и т.д. Это все верно, но это ли первопричина? В этом и последующих постах я постараюсь поведать читателям (то есть самому себе из будущего, ибо этот блог даже моя жена не читает), что на эту тему можно сказать нового. В действительности, я просто спроецурую общетеоретический знания в институциональную среду в России.

Наш мозг используется систему кнута и морковки внутри себя. Гланды генерирует различные гормоны, коктейль этих гормонов определяет наше состояние. (i.e. Dopamine, Serotonin, Oxytocin, Endorphins).

Если ты делаешь что-то что хорошо для тебя с эволюционной точки зрения это твой мозг вознаграждает тебя за это. Ещё это называют положительной обратной связью. Если делаешь что-то плохо с эволюционной точки зрения твой мозг штрафует тебя за это. Негативная обратная связь. Спорт, секс, даже любовь, или точнее близость, очень хорошо поняты нейрофизиологами.

Очень интересное дополнение к все это история с внутренней морковкой и кнутом появилась последние несколько лет. Это дополнение результат комбинирования знаний из теории игр, антропология и биологии.

Главный вывод этой истории заключается в том что люди уникальные в том что они могут играть в игры с ненулевым выигрышем. Это просто значит что они могут собираться в группы и достигать большего работая вместе. Это очень уникально для животного мира. Сегодня есть очень убедительный ответ на то, что наш мозг был эволюционно заточен на то чтобы мы могли кооперироваться с незнакомцами для того чтобы делать общие благо. Кооперация становится возможной в группе когда все её члены разделяют и бессомнений верят в опеределенную фикцию.

Эволюционно уникальное качества людей кооперироваться с другими людьми даже из другого “племени” проявила себя в таких уникальных только для людей технологиях как деньги, писаные контракты, билеты на поезд, чеки, наручники, тюрьмы, электрические стулья, телевидение и другие средства удалённого мониторинга, лекарство, базы данных преступление и т.д. (лютое чтиво)

Люди имели деньги задолго до того как экономика появилась как наука. Деньги предполагают цену потому что цена это товар в единицах денег. Цена транслирует очень много информации о товарах, это информация используются в обществе для того чтобы понять что производить, а что потреблять. (Вот разрывающий мозг пример Фридмана из 80х, о том, что никто не может сделать карандаш, но цены позволяют сотням незнакомцев из десятков стран сделать карандаш, почти не используя слова, ну и вообще все вот тут стоит посмотреть)

То есть если мы отказываемся от цен что мы говорим нет нашей собственной эволюционной особенности, которая и позволило людям стать самые влиятельные формой жизни на земле. Но цены это лишь одно очень узкое проявление вот этой эволюционное особенности людей.

Подчасть 1.2

Вот крутая статья, где анализируются результаты введения бесплатных детских садов в Канаде. В этой статье используются очень убедительные эконометрические методы и она интересна в первую очередь как раз. Ну история которую рассказывает это статья укладывается в несколько предложений. Введение бесплатных детских садов сделала детям хуже, потому что родители перестали проводить с ними время. То есть родители подумали что пускай детьми занимаются кто-то другой, более того они уже платят за содержания этих общественных садов. Единственная группа людей которая выиграли от реформа это одинокие родители, которые так и не могли сидеть с детьми. То есть получается что система бесплатной детских садов дестимулирует родителей проводить время с детьми и снижает издержки быть одиноким родителем, то есть стимулирует внебраковое зачатие.

Вот описание самого дорогого эксперимента в истории человечества, проводили в Америке восьмидесятых годах. Вопрос на который пытался ответить эксперимент: должна ли медицинская страховка быть бесплатной? И оказалось что делать медицинские страховки, то есть медицинские услуги, бесплатно это безобразная идея. Люди постоянно ходят к врачам без долгосрочных положительных результатов, создавая очереди, в итоге, людям, которым действительно нужна медицинская помощь не могут ее получить. Медицинское обслуживание должно быть доступным но она не должна быть бесплатно.

Вот эти два примера иллюстрируют тот факт что люди имеет удивительную способность собираться в группы, и они эволюционно придумали огромное количество и технологии которые облегчают это. Одна из них это цена. В этом смысле рынки это естественная конструкция которая эволюционно появилась в людях. Это примерно так же как у муравьев есть химический след по которому они ориентируются.

Сейчас я расскажу вторую идею. Вот эти две идеи вместе формируют понимание, почему на Руси всё так грустно. Спойлер: невозможность скооперироваться и систематическое уничтожение всех эволюционно рождённых социальных конструкций, которые помогают добиться кооперации. Можно об этом так сказать, в России люди даже не могут собраться в ТСЖ, как можно говорить о том что люди на произвольных началах соберутся чтобы придумать iPhone или что-нибудь такое.

Хм… блин, я даже не начал говорить о том, что хотел. В этом проблема слов. Слова недостаточно емкие символы. Математика спопобна рассказывать удивительно увлекательные истории и очень емко, то есть быстрее. Но расшифровка матсимволов занимает гораздо больше времени, чем слов…. ок потом закончу, про “самые важные технологии”.

 

Свободу несвободным

Ничего себе!! Вот еще черновик от 6 февраля 2012 года. Это как раз перед прошлыми выборами

Получив в 90-х годах свободу, мы до сих пор не понимаем, что это на самом деле такое. Зачастую мы думаем, что это – сидеть на диване, пока нам пряники приносят. Демократия – это работа, каждодневная серьезная работа. Каждый из нас должен смотреть, чтобы взятки не брали, правила не нарушали. Демократия – это когда ты подойдешь к водителю, который стоит во втором ряду на аварийке, и скажешь ему, что тут стоять нельзя. Мы всё думаем, что ничего не делая, ничего не меняя в своих привычках, страна сама должна почему-то поменяться. Тут не надо быть гением, чтобы понять, что Мы – это совокупность каждого, и поведение каждого влияет на продукт этой совокупности.

Мне часто бывает стыдно за соотечественников. Но мне стыдно не из-за Путина и прочих “узурпаторов”, а за своих соотечественников, при чем не за тех, кто накопил деньжат и решил съездить в Египет и отдыхает, как привык. Мне стыдно за вот этих вот начитавшихся всяких статей “думающих” интеллектуалов, которые почему то с конца прошлого года заполонили все вокруг. Эти отмороженные дьяволы, которые, прикрываясь благими намерениями, делают страшнейшие преступления.

Я искренне сочувствую Кремлю, который искренне боялся и боится наших граждан, которые не понимая, что такое демократия требуют того, чего не знают сами. Через месяц главные выборы страны. И что же обсуждают наши граждане? Они обсуждают не конкретные проблемы нашего общества, такие как жуткая коррупция, отсутствие инфраструктуры, безобразное образование. Содержательно политика не обсуждается, обсуждается то, что надо быть с Путиным или без Путина. Путин вообще не имеет никакого значения; те решения, которые касаются каждого, были в большинстве случаев вообще не им приняты. К примеру, воспринимаемый по каким-то непонятным причинам как либерал, господин Кудрин был идеологом жуткой поборки с бизнеса и с регионов. Он ограничивал инвестиции в регионы. Презумируя “вороватость” граждан, он отнимал максимум у бизнеса и регионов. (Но опять же “враг” наш не он, а криминал, который косит под бизнес, и “отправить” в федеральный бюджет то, чтобы было бы своровано, гораздо лучше)

Маркс аксиомизировал достаточно очевидную идею, что самый главный “подсистемой” является экономика; культура, политика и прочие области деятельности человека лишь производные от нее. В постсоветской России богаче стало достаточно ограниченное количество людей, работающих в нефтянке, банках, логистике, торговле и простейших услугах. Но при этом остальные отрасли висят на том же убогом уровне, выживая благодаря трансферам. Такой вот “двухскоростной рост” (его, конечно, можно разбивать по регионам и анализировать куда предметнее, но сейчас не в этом суть). Та часть, что побыстрее, высунувшись из кучки навоза, вдруг посчитала, что теперь имеет право говорить за всех нас. Вместо того, что бы кричать на митингах, вы бы лучше посадили дерево в ближайшем сквере или повесили цветы на окно по весне. Или собрались бы с соседями по дому и покрасили бы стены в подъезде.

С развитием среднего класса развиваются и политические привычки людей: создается спрос на содержательную политику и на качество политических институтов. Господин Сурков, который пытался слатать на ходу политические институты последние 12 лет, после декабрьских митингов резюмировал, что “лучшие из нас” начали требовать качественной политики. Кремль искренне поверил, что вот плод их труда, в стране появились люди, готовые ответственно брать свободу. Путин искренне надеется на дискуссию в своих 4ах статьях. Показательны в этом случае комментарии к статье, как прямая обратная связь от того для кого статья написана и что же мы видим? (Кстати говоря было бы невероятно интересно применить немного статистики и проанализировать комментарии на все статьи. Разбить по категориям “согласен” “не согласен”, “политический взгляд”, “сфера деятельности”. Было бы у меня время, я бы с удовольствием этим занялся; результат был бы интересный).

Вот оставил комментарий один наш соотечественник Григорий:

“Ощущение, что прочитал основные направления развития народного хозяйства перед очередным съездом партии. Там все было хорошо – демократия, развитие, всемерное укрепление… Это статья Путина смешна! Два месяца назад он назвал нас бандерлогами, борьбу за честные выборы просто проигнорировал, организовал второй процесс над Ходорковским, отменил выборы губернаторов, а теперь “поет” оды демократии. Ничего содержательного. Пустота. С ним работают одни дебилы и только с ними он и может работать, или точнее, быть у власти. Ни сроков, ничего конкретного! Это же надо так бездарно!”

Это триумф издевенчества и глупости! Человек ждет, что ему принесут демократию на тарелочке. Простите, но “принести” демократию могут только на ракете как арабам на ближнем востоке, но не на тарелочке. Демократия – это большая работа, объем которой наши соотечественники и не осознают. Демократия – это диалог, который начинается с соседа по лестничной клетке или по садоводству и муниципалитетом и заканчивается на самом верху федеральных органов.

Я искренне надеюсь, что у нас все выйдет. В общем то я уверен, что мы станем настоящей европейской демократией в ближайшее время (я точно буду этому свидетелем). Но главный вопрос сейчас в том, пришло ли время давать нам свободу? Не навредим ли мы опять себе попросив свободу и оставшись с корытом? Тут сразу хочется вспомнить Моисея, который гонял евреев по пустыне, чтобы не стало тех, кто жил жизнью раба и по-другому не умеет, а осталось только новое поколение не знающее рабство.

Some simple probability formulas with examples

A known relationship that is usually given axiomatically:

P(B|A) = \frac{{P(AB)}}{{P(A)}}

Upon rearrangement gives the multiplication rule of probability:

P(AB) = P(A)P(B|A) = P(B)P(A|B)

Now observe a cool set up that is handy to keep in mind for proving the law of total probability and Bayes’ theorem.

Imagine that B happens with one and only one of n mutually exclusive events A_1, A_2,..., A_n, i.e.:

 B = \sum\limits_{i = 1}^n {B{A_i}}

By addition rule:

B = \sum\limits_{i = 1}^n {P(B{A_i})}.

Now by multiplication rule:

B = \sum\limits_{i = 1}^n {P({A_i})P(B|{A_i})}.

This is the law of total probability

From the same set up imagine that we want to find the probability of even A_i if B is known to have happened. By the multiplication rule:

P(A_i B) = P(B)P(A_i|B) = P(A_i)P(B|A_i)

By neglecting P(A_i B) and dividing the rest through P(B) we get:

P\left( {{A_i}|B} \right){\rm{ = }}\frac{{P({A_i})P(B|{A_i})}}{{P(B)}}

And applying the law of total probability to the bottom we have the Bayes’ equation

P\left( {{A_i}|B} \right){\rm{ = }}\frac{{P({A_i})P(B|{A_i})}}{{\sum\limits_{j = 1}^n {P({A_j})P(B|{A_j})} }}

Bunch of examples:

Problem: P_t (k) is a known probability of receiving k phone calls during time interval t. Also k=0,1,2,.... Assuming that a number of received calls during two adjeicent time periods are independent find the probability of receiving s calls for the time interval that equal 2t.

Solution: Let A_{b.b + t}^k be an event consisted of k call in the interval b till b+t. Then clearly

A_{0,2t}^s = A_{0,t}^0A_{t,2t}^s + ... + A_{0,t}^sA_{t,2t}^0

which means that the event A_{0,2t}^s can be seen as sum of s+1 mutually exclusive events, such that in the first interval of duration t number of calls received is i and in the second interval of the same duration number of received calls is s-i (i=0,1,2,...,s). By rule of addition

P(A_{0,2t}^s) = \sum\limits_{i = 0}^s {P(A_{0,t}^iA_{t,2t}^{s - i})}.

By the rule of multiplication

P(A_{0,t}^iA_{t,2t}^{s - i}) = P(A_{0,t}^i)P(A_{t,2t}^{s - i})

If we change the notation so that

{P_{2t}}(s) = P(A_{0,2t}^s)

then

{P_{2t}}(s) = \sum\limits_{i = 0}^s {{P_t}(s) \cdot P(s - i)}.

It is known that under quite general conditions

{P_t}(k) = \frac{{{{(at)}^k}}}{{k!}}\exp \{ - at\} {\rm{ }}(k = 0,1,2...)

(Recall that the Poisson distribution is an appropriate model if the following assumptions are true. (a) k is the number of times an event occurs in an interval and k can take values 0,1,2,.... (b) The occurrence of one event does not affect the probability that a second event will occur. That is, events occur independently. (c) The rate at which events occur is constant. The rate cannot be higher in some intervals and lower in other intervals (that kinda a lot to take on faith really). (d) Two events cannot occur at exactly the same instant; instead, at each very small sub-interval exactly one event either occurs or does not occur. (e) The probability of an event in a small sub-interval is proportional to the length of the sub-interval.  Or instead of those assumptions, the actual probability distribution is given by a binomial distribution and the number of trials is sufficiently bigger than the number of successes one is asking about (binomial distribution approaches Poisson).)

Parametrisation then gives

{P_{2t}}(s) = \sum\limits_{i = 0}^s {\frac{{{{(at)}^s}}}{{i!(s - i)!}}\exp \{ - 2at\} } {\rm{ = }}{(at)^s}\exp \{ - 2at\} \sum\limits_{i = 0}^s {\frac{1}{{i!(s - i)!}}}

Note that

\sum\limits_{i = 0}^s {\frac{1}{{i!(s - i)!}} = \frac{1}{{s!}}\sum\limits_{i = 0}^s {\frac{{s!}}{{i!(s - i)!}}} = \frac{1}{{s!}}{{(1 + 1)}^s} = \frac{{{2^s}}}{{s!}}}

Then

{P_{2t}}(s) = \frac{{{{(2at)}^s}\exp \{ - 2at\} }}{{s!}}{\rm{ }}(s = 0,1,2,...)

The key point is that if for time interval t we have that parametrized formula for 2t we have the one above. It holds true for any multiples of t as well.

A simple fact about sets

Out of n elementary events one can get

\sum_{m=1}^{n} C_{n}^{m} = 2^n - 1

possible outcomes. Where C_{n}^{m} is an event that contains m elementary events. Take set

\{ a,b,c\}

with the size as the only characteristic n=3. Then it power set

\{ \{ a\} ,\{ b\} ,\{ c\} ,\{ a,b\} ,\{ a,c\} ,\{ b,c\} ,\{ a,b,c\} ,\{ \emptyset \} \}

contains {2^3} = 8 elements. 3 event for one element each, C_{3}^{1}. Then 3 events with two element, C_{3}^{2}. Finally, 1 event for one with all elements, C_{3}^{1}. A emply set is an impossible event.

I personally think that this simple fact is amazing, but some would say it is kinda boring. Here is an interesting question for those.

A pack of cards that has 36 cards is randomly split equally into halves. What is the probability that halves have equal amount black and red cards?

This is just another set with 36 elements of two type.

p = \frac{{C_{18}^9 \times C_{18}^9}}{{C_{36}^{18}}} = \frac{{{{(18!)}^4}}}{{36!{{(9!)}^4}}}

The denominator indicates all possible equally likely ways the pack can be split.

Instead of computing that manually one can use this asymptotic equality

n!\ \approx \sqrt {2\pi n} \cdot {n^n}{e^{ - n}}

Thus

18!\ \approx {18^{18}}{e^{ - 18}}\sqrt {2\pi \cdot 18}

9!\ \approx {9^9}{e^{ - 9}}\sqrt {2\pi \cdot 9}

36!\ \approx {36^{36}} \cdot {e^{ - 36}}\sqrt {2\pi \cdot 36}

Which means

p \approx \frac{{{{(\sqrt {2\pi \cdot 18} \cdot {{18}^{18}} \cdot {e^{ - 18}})}^4}}}{{\sqrt {2\pi \cdot 36} \cdot {{36}^{36}} \cdot {e^{ - 36}}{{(\sqrt {2\pi \cdot 9} \cdot {9^9} \cdot {e^{ - 9}})}^4}}}

Simple algebra yields

p \approx \frac{2}{{\sqrt {18\pi } }} \approx \frac{4}{{15}} \approx 0.26

The result fascinates me. The graph visualizes data from a real experiment where a pack is split equally 100 times and \mu is a cumulated sum if exactly 9 red cards are observed in on of the halves. What is crazy is that we were able to see the results of this experiments without doing any experiments, by simply reasoning mathematically about things.

More on this topic: Гнеденко-1988 

Distribution of a ordered pile of rubble

Imagine a pile of rubble (X) where the separated elements of the pile are stones (x_i). By picking n stones we form a sample that we can sort by weight. A sequence x_1,x_2,...,x_n becomes x_{(1)},x_{(2)},...,x_{(m)},...x_{(n)}, where (m) is called “rank”.

Pretend that we do the following. Apon picking a sample and sorting it we put stones into n drawers and mark each drawer by rank. Now repeat the procedure again and again (picking a sample, sorting and putting stones into drawers). After several repetitions, we find out that drawer #1 contains the lightest stones, whereas drawer #n the heaviest. An interesting observation is that by repeating the procedure indefinitely we would be able to put all parenting set (the whole pile or the whole range of parenting distribution) into drawers and later do the opposite — take all stones (from all drawers) mix them to get back the parenting set. (The fact that distributions (and moments) of stones of particular rank and the parenting distribution are related is probably the most thought-provoking)

Now let us consider the drawers. Obviously, the weight of stones in a given drawer (in a rank) is not the same. Furthermore, they are random and governed by some distribution. In other words, they are, in turn, a random variable, called order statistics. Let us label this random variable X_{(m)}, where m is a rank. Thus a sorted sample looks like this

X_{(1)},X_{(2)},...,X_{(m)},...,X_{(n)}

Its elements X_{(m)} (a set of elements (stones) x from the general set X (pile) with rank m (drawer)) are called m order statistics.

//////////////

Elements X_{1} and X_{(n)} are called “extreme”. If n is odd, a value with number m=\frac{(n+1)}{2} is central. If m is of order \frac{n}{2} this statistics is called “m central” A curious question is how define “extreme” elements if n \to \infty. If n increases, then m increases as we.

//////////////

Let us derive a density function of m order statistics with the sample size of n. Assume that parenting distribution F(x) and  density f(x) are continues everywhere. We’ll be dealing with a random variable X_{(m)} which share the same range as a parenting distribution (if a stone comes from the pile it won’t be bigger than the biggest stone in that pile).

Untitled

The figure has F(x) and f(x) and the function of interest \varphi_n (\cdot). Index n indicates the size of the sample. The x axis has values x_{(1)},...,x_{(m)},...,x_{(n)} that belong to a particular realization of X_{(1)},X_{(2)},...,X_{(m)},...,X_{(n)}

The probability that m-order statistics X_{(m)} is in the neuborhood of x_{(m)} is by definition (recall identity: dF = F(X + dx) - F(x) = \frac{{F(x + dx) - F(x)}}{{dx}} \cdot dx = f(x) \cdot dx ):

dF_{n}(x_{(m)})=p[x_{(m)}<X_{(m)}<x_{(m)}+dx_{(m)}]=\varphi_n (x_{(m)})dx_{m}

We can express this probability in term of parenting distribution F(x), thus relating \varphi_n (x_{(m)}) and F(x).

(This bit was a little tricky for me; read it twice with a nap in between) Consider that realization of x_1,...,x_i,...,x_n is a trias (a sequence generated by parenting distribution, rather then the order statistics; remember that range is common) where “success” is when a value X<x_{(m)} is observed, and “failure” is when X>x_{(m)} (if still necessary return to a pile and stone metaphor). Obviously, the probability of success is F(x_{(m)}), and of a failure is 1-F(x_{(m)}). The number of successes is equal to m-1, failures is equal to n-m, because m value of x_m in a sample of a size n is such that m-1 values are less and n-m values are higher than it.

Clearly, that the process of counting of successes has a binomial distribution. (recall that probability of getting exactly k successes in n trials is given by pms: p(k;n,p) = p(X = k) = \left( \begin{array}{l}  n\\  k  \end{array} \right){p^k}{(1 - p)^{n - k}}  In words, k  successes occur with p^k  and n-k  failures occur with probability (1-p)^{n-k} . However, the k successes can occur anywhere among the n  trials, and there are \left( \begin{array}{l}  n\\  k  \end{array} \right)  different ways of distributing k successes in a sequence of n  trials. A little more about it)

The probability for the parenting distribution to take the value close to x_{(m)} is an element of dF(x_{(m)})=f(x_{(m)})dx.

The probability  of sample to be close to x_{(m)} in such a way that m-1 elements are to the left of it and n-m to the rights, and the random variable X to be in the neighborgood of it is equal to:

C_{n - 1}^{m - 1}{[F({x_{(m)}})]^{m - 1}}{[1 - F({x_{(m)}})]^{n - m}}f({x_m})dx

Note that this is exactly p[x_{(m)}<X_{(m)}<x_{(m)}+dx_{(m)}], thus:

\varphi_n (x_{(m)})dx_{m}=C_{n - 1}^{m - 1}{[F({x_{(m)}})]^{m - 1}}{[1 - F({x_{(m)}})]^{n - m}}f({x_m})dx

Furthermore if from switching from f(x) to \varphi_n (x_{(m)}) we maintaine the scale of x axis then

\varphi_n (x_{(m)})=C_{n - 1}^{m - 1}{[F({x_{(m)}})]^{m - 1}}{[1 - F({x_{(m)}})]^{n - m}}f({x_m})

The expression shows that the density of order statistics depends on the parenting distribution, the rank and the samples size. Note the distribution of extreme values, when m=1 and m=n

The maximum to the right element has the distribution F^{n}(x) and the minimumal 1-[1-F(x)]^n. As an example observe order statistics for ranks m=1,2,3 with the sample size n=3 for uniform distribution on the interval [0,1]. Applying the last formula with f(x)=1 (and thus F(x)=x we get the density of the smallest element

\varphi_3 (x_{(1)})=3(1-2x+x^2);

the middle element

\varphi_3 (x_{(2)})=6(x-x^2)

and the maximal

\varphi_3 (x_{(3)})=3x^2.

With full concordance with the intuition, the density of the middle value is symmetric in regard to the parenting distribution, whereas the density of extreme values is bounded by the range of the parenting distribution and increases to a corresponding bound.

Note another interesting property of order statistics. By summing densities $latex \varphi_3 (x_{(1)}), \varphi_3 (x_{(2)}), \varphi_3 (x_{(3)})$ and dividing the result over their number:

\frac{1}{3}\sum\limits_{m = 1}^3 {{\varphi _3}({x_{(m)}}) = \frac{1}{3}(3 - 6x + 3{x^2} + 6x - 6{x^2} + 3{x^2}) = 1 = f(x)}

on the interval [0,1]

The normolized sum of order statistics turned out to equla the parenting distribution f(x). It means that parenting distibution is combination of order statistics X_{(m)}. Just like above had been mentioned that after sorting the general set by ranks we could mix the sorting back together to get the general set.

Further read: Ефимов-1980; Arnord-balakrishnan-2008.

Теория аукционов в действии

Мой доклад про применение теории аукционов в энергосетях.

Когда я первый раз услышала про аукционы и про теорию ауцкионов, я был уверен что это самая скучная вещь в мире. Любой нормальный человек должен именно так на это реагировать. Ну как обычно бывает в математике все эти странные символы и странные термины скрываю за собой невероятно увлекательные истории которые касаются всех нас. Теория аукционов это очень логичное продолжение моделей рыночного частного и общего равновесия. Базовая история, которая скрывается за символами и терминами остается тоже: как распределить ресурсы так чтобы они достались тому кому больше всех нужно. Решение проблемы энергобезопасности это очень сложная инженерная проблема и во всех развитых странах применяется междисциплинарный подход. Большую часть этой междисциплинарности занимает именно теория игры, а точнее аукционы. Блин, я хотел рассказать какую-то большую историю, но понимаю, что мне очень не хочется это делать и я расскажу просто очень примитивный пример и дам пару ссылок. Ну вот когда строят дороги очень важно учитывать в размазанность её загрузки, а не просто средние значения. Ты можешь построить дорогу на 10 полос но она будет использоваться 10 минут в день. Если же одна полоса там будет то будут сильные пробки. Дорога из пункта А в пункт Б она должна учитывать тот факт что будут всплески спроса на эту дорогу. Ну и вообще очень разумно разделить проблему пробок на дорогах на проблемы стороны спроса и проблемы стороны предложения. Самый поверхностный подход это сосредоточиться на стороне предложения. Сказать проблема пробок только в том что у нас не достаточно широкие дороги. Но проблема будет в том что если построить дорогу чтобы вообще пробок не было, но она будет пустая 99% времени в течении дня. Потому, что она будет использоваться только 1% времени. И будет стоять очень дорогая и красивая никому не нужная дорога. Самый лучший способ это учитывать и средние значения и вариации, теоретически оптимальный вариант это когда загрузка на дорогу будет равномерно в течение дня. Этот оптимум вряд ли достижим потому что мы договорились работать начиная с 9 или там с 10 и в это время примерно начинается массовый спрос на дороге и дорог не хватает.
Ну в общем было бы здорово если бы все могли договориться и распределить дорогу и таким образом чтобы люди, к примеру, менее важнее ехали в другое время суток. Ну и вот тут мы как раз используем такую вещь как цену на которую люди реагируют чтобы принимать решения. Возвращаясь к теме энергобезопасности, там вообще много проблем, но одна из центральных это ограниченность ресурсов по трансмиссии электричества как раз из-за вот внутридневная волатильность. Теория аукционов как раз говорит о том что мы должны сделать электричество дорогим когда пик и дешевым когда спроса нет и все. Кто-то будет реагировать на этот стимулы исп,ользовать электричество тогда, когда нет пикает. Ну вот и всё мы используем различные механизмы, чтобы адресовать сторону спроса, может даже сторону предложения меня не надо.

Вот крутые сайты профов, которые занимаются дизайном рынков:

Al RothPeter Cramton

Вот список мудро подобранных статей по дизайну рынков:

Вот статьи, которые я юзал для доклада

1, 2, 3